Διαφορικός Λογισμός Πολλών Μεταβλητών

Τα σύγχρονα μαθηματικά δεν έρχονται σε αντίθεση με τα κλασσικά μαθηματικά και πολύ περισσότερο δεν τα καταργούν. Απλώς, τα σύγχρονα μαθηματικά είναι η συνέχεια των μαθηματικών του χθες, χωρίς καμμιά διακοπή, και ο συνδετικός τους κρίκος είναι η προσπάθεια για τη λύση των προβλημάτων που μας κληροδότησαν οι προγενέστεροί μας. Αν τώρα, στα σύγχρονα μαθηματικά έχομε πολλές αφηρημένες έννοιες, αυτό συχνά οφείλεται στην έντονη τάση των ερευνητών μαθηματικών να συγκεντρώνουν την προσοχή τους στα σημεία-κλειδιά των προβλημάτων, προκειμένου να αποφύγουν περιττές λεπτομέρειες. Έτσι, έχει επιτευχθεί αλματώδης ανάπτυξη σε πολλούς τομείς των μαθηματικών που μόλις προ ολίγων ετών θεωρούνταν απροσπέλαστοι. Η ραγδαία ανάπτυξη των μαθηματικών, όπως ήταν φυσικό, είχε ως συνέπεια τον εκσυγχρονισμό της διδασκαλίας των μαθηματικών τόσο στην Ανωτάτη Παιδεία όσο ακόμη και στη Μέση. Ο εκσυγχρονισμός όμως αυτός, εκτός των ευνοϊκών του συνεπειών για την απόκτηση νέων ιδεών και μεθόδων, είχε και κάποιες μη αμελητέες αρνητικές επιπτώσεις, τις οποίες οφείλομε να επισημάνομε. Στη διδασκαλία των στοιχειωδών μαθηματικών, κυρίως στην Άλγεβρα και στη Γεωμετρία, έχουν εισαχθεί, κατά αλόγιστο τρόπο, πολλές νέες έννοιες και θεωρίες. Έτσι, παρατηρείται το φαινόμενο να διδάσκονται στα στοιχειώδη μαθηματικά κατά παιδαριώδη τρόπο άχρηστες έννοιες και θεωρίες, οι οποίες τις περισσότερες φορές γίνονται επιβλαβείς για τη μαθηματική παιδεία. Τα προβλήματα εκσυγχρονισμού της διδασκαλίας των μαθηματικών στην Ανωτάτη Παιδεία είναι περισσότερο πολύπλοκα και η πρόχειρη αντιμετώπισή τους δημιουργεί σύγχυση με επικίνδυνες προεκτάσεις. Το χαρακτηριστικότερο είναι η τάση, της οποίας γίνεται κατάχρηση, να γίνονται προγράμματα σπουδών, στα οποία κυριαρχούν η ποικιλία και ο μεγάλος αριθμός των υποχρεωτικών και κατ ' επιλογή μαθημάτων. Ως εκ τούτου, ο φοιτητής μη έχοντας τη δυνατότητα να διαχωρίσει τα βασικά από τα μη βασικά μαθήματα, πελαγοδρομεί, με συνέπεια να μη γνωρίζει πού πρέπει περισσότερο να στρέψει την προσοχή του. Έτσι, διατρέχει τον κίνδυνο να μην αποκτήσει τις απαραίτητες γνώσεις του Μαθηματικού Λογισμού, οι οποίες του είναι χρήσιμες τόσο για την κατανόηση περισσότερο αφηρημένων εννοιών, χωρίς τον κίνδυνο του παπαγαλισμού, όσο και για την τεχνική των εφαρμοσμένων μαθηματικών, χωρίς τον κίνδυνο ενός άβουλου αυτοματισμού. Τελικώς, δηλαδή, ο φοιτητής διατρέχει τον κίνδυνο, οι γνώσεις που θα αποκτήσει να είναι ρηχές και το χειρότερο, ακολουθώντας μια κατεύθυνση, να μένει με την εντύπωση ότι έχει εξειδικευθεί. Εκείνο, επομένως, που προέχει είναι να αποκτήσει ο φοιτητής στέρεες βάσεις πάνω στο Μαθηματικό Λογισμό. Δηλαδή, να μπορεί να χρησιμοποιεί με άνεση τις βασικές μαθηματικές μεθόδους και να εκτελεί με ευχέρεια τις διάφορες μαθηματικές πράξεις. [...] Το βιβλίο αυτό απευθύνεται κατά κύριο λόγο στους φοιτητές του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, οι οποίοι διδάσκονται το υποχρεωτικό μάθημα "Διαφορικός Λογισμός II" του τρίτου εξαμήνου. Βασικό κίνητρο για τη συγγραφή του πονήματος αυτού ήταν η επιθυμία των συγγραφέων να παρουσιάσουν ένα βιβλίο του Λογισμού πολλών μεταβλητών, θεμελιωμένο πάνω στη σύγχρονη αντίληψη των Μαθηματικών. Έτσι, η ανάπτυξη της θεωρίας, που αφορά στη μελέτη των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, θεμελιώνεται με τη βοήθεια του Διανυσματικού Λογισμού και της Γραμμικής Άλγεβρας, με την απαιτουμένη, βέβαια, ακρίβεια των εννοιών και αυστηρότητα των συλλογισμών. Φυσική απόρροια του γεγονότος αυτού είναι η προσέγγιση καν μη γραμμικών συναρτήσεων με αφφινικές απεικονίσεις. Παράλληλα, δίνεται ιδιαίτερη προσοχή σε κλασικές εφαρμογές και υπολογιστικές μεθόδους, όπου διαπιστώνεται η σπουδαιότητα των βασικών εργαλείων της Μαθηματικής Αναλώσεως. Με τον τρόπο αυτό γίνεται εμφανής η χρησιμότητα της σχετικής θεωρίας για την πράξη και, επομένως, καταξιώνεται η σημασία του πονήματος αυτού, από την άποψη μιας ολοκληρωμένης μαθηματικής παιδείας για εκείνους που θέλουν να μυηθούν στο Μαθηματικό Λογισμό. [...] (Από τον πρόλογο των συγγραφέων).